It's not that hard to understand where this expression comes from. Nature, which is such a central part of our lives, has also entered our language.
So just as we can see a lot of mushrooms growing in the ground after it rained, so we will relate to something that suddenly appears and then we start to see a lot of it.
For example, right after Yom Kippur, people go out all over Israel to stick the first peg for the Sukkah in preparation for the Sukkot feast.
During this time, we begin to see Sukkot everywhere "like mushrooms after the rain."
כְּפִטְרִיּוֹת אַחֲרֵי הַגֶּשֶׁם
KEFITRIYOT ACHAREY HAGESHEM
Like mushrooms after the rain
זֶה לֹא כָּל כָּךְ קָשֶׁה לְהָבִין מָה מְקוֹר הַבִּיטּוּי הַזֶּה. הַטֶּבַע, שֶׁהוּא חֵלֶק כָּל כָּךְ מֶרְכָּזִי בְּחַיֵּינוּ, נִכְנָס גַּם לַש ָּׂפָה שֶׁלָּנוּ.
אָז כְּמוֹ שֶׁאֲנַחְנוּ יְכוֹלִים לִרְאוֹת הַרְבֵּה פִּטְרִיּוֹת שֶׁצּוֹמְחוֹת בָּאֲדָמָה אַחֲרֵי שֶׁיָּרַד גֶּשֶׁם, כָּךְ אֲנַחְנוּ נִתְיַחֵס אֶל מַשֶּׁהוּ שֶׁמּוֹפִיעַ פִּתְאוֹם וְאָז אֲנַחְנוּ מַתְחִילִים לִרְאוֹת מִמֶּנּוֹ הַרְבֵּה.
לְמָשָׁל, מִיָּד אַחֲרֵי יוֹם הַכִּיפּוּרִים, אֲנָשִׁים יוֹצְאִים בְּכָל רַחֲבֵי יִשְׂרָאֵל לִתְקוֹעַ אֶת הַיָּתֵד הָרִאשׁוֹן לַסּוּכָּה לִקְרַאת חַג הַסּוּכּוֹת.
בַּתְּקוּפָה הַזֹּאת אֲנַחְנוּ מַתְחִילִים לִרְאוֹת סוּכּוֹת בְּכָל מָקוֹם "כְּמוֹ פִּטְרִיּוֹת אַחֲרֵי הַגֶּשֶׁם".